一、子女监护权归谁？
根据民法通则第十六条，“未成年人的父母是未成年人的监护人。未成年人的父母死亡或者没有监护能力的，由下列人员中有监护能力的人担任监护人： （一）祖父母、外祖父母；（二）兄、姐；（三）关系密切的其他亲属、朋友愿意承担监护责任，经未成年人的父、母的所在单位或者未成年人住所地的居民委员会、村民委员会同意的。
对担任监护人有争议的，由未成年人的父、母的所在单位或者未成年人住所地的居民委员会、村民委员会在近亲属中指定。对指定不服提起诉讼的，由人民法院裁决。
二、子女监护权可以终止吗？
享有子女监护权的人必须具有监护能力。根据《最高人民法院关于贯彻执行〈中华人民共和国民法通则〉若干问题的意见（试行）》第11条规定，认定监护人监护能力，应当根据监护人的身体健康状况、经济条件，以及与被监护人在生活上的联系状况等因素确定。
因此，如果享有子女监护权的父母失去了监护能力，也就是说，其没有足够的能力来履行监护职责，那么监护权就是可以变更甚至终止的。当然，子女监护权的终止并不一定是享有子女监护权的父母不具备监护能力。
三、监护权终止的情形有哪些？
按照法律规定，监护权终止的情形有：
1.被监护人获得完全民事行为能力。在未成年人成年取得完全民事行为能力、在成年精神病人恢复健康状态时，监护即告终止。
2.监护人或被监护人一方死亡。监护人或被监护人一方死亡的，监护关系不复继续，当然终止。
3.监护人丧失民事行为能力。监护人以有完全民事行为能力为条件，丧失民事行为能力，也即丧失监护能力，监护关系理当终止。
4.监护人辞去监护。监护人有正当理由的，可以辞去监护。在指定监护人，辞去监护须经协商或提起诉讼由法院判决，擅自辞去的不发生辞去效力。