爸爸跟人吵架,被人推倒后头部着地,经法医鉴定为重伤.

根据你的陈述，如你父亲的伤势是由于对方实施了故意伤害的行为，且造成了重伤的法律后果，则公安机关应当立案侦查并对犯罪嫌疑人采取相关刑事强制措施，并最终提请当地人民检察院批准逮捕和审查起诉，最终由检察院提起公诉。如公安机关不作为，你可以依法向公安机关申请复议，也可以向检察院投诉，要求检察院督促公安机关立案。下述是有关立案的相关规定：
《刑事诉讼法》相关规定：第八十三条 公安机关或者人民检察院发现犯罪事实或者犯罪嫌疑人，应当按照管辖范围，立案侦查。
第八十四条 任何单位和个人发现有犯罪事实或者犯罪嫌疑人，有权利也有
义务向公安机关、人民检察院或者人民法院报案或者举报。
被害人对侵犯其人身、财产权利的犯罪事实或者犯罪嫌疑人，有权向公安
机关、人民检察院或者人民法院报案或者控告。
公安机关、人民检察院或者人民法院对于报案、控告、举报，都应当接受。
对于不属于自己管辖的，应当移送主管机关处理，并且通知报案人、控告人、
举报人；对于不属于自己管辖而又必须采取紧急措施的，应当先采取紧急措施，
然后移送主管机关。
第八十六条 人民法院、人民检察院或者公安机关对于报案、控告、举报和
自首的材料，应当按照管辖范围，迅速进行审查，认为有犯罪事实需要追究刑
事责任的时候，应当立案；认为没有犯罪事实，或者犯罪事实显著轻微，不需
要追究刑事责任的时候，不予立案，并且将不立案的原因通知控告人。控告人
如果不服，可以申请复议。
第八十七条 人民检察院认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查
的，或者被害人认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查，向人民检
察院提出的，人民检察院应当要求公安机关说明不立案的理由。人民检察院认
为公安机关不立案理由不能成立的，应当通知公安机关立案，公安机关接到通
知后应当立案。
同时，你提到派出所通知你们提起“直诉”，实际是指“刑事自诉”。根据《刑事诉讼法》第八十八条的规定： 对于自诉案件，被害人有权向人民法院直接起诉。被害人死亡或者丧失行为能力的，被害人的法定代理人、近亲属有权向人民法院起诉。人民法院应当依法受理。简单说就是你父亲可以以自己的名义直接向法院起诉要求追究对方的刑事责任并承担民事赔偿责任。现罗列关于自诉的相关规定，供你参考:《刑事诉讼法》 第一百七十条 自诉案件包括下列案件：
（一）告诉才处理的案件；
（二）被害人有证据证明的轻微刑事案件；
（三）被害人有证据证明对被告人侵犯自己人身、财产权利的行为应当依
法追究刑事责任，而公安机关或者人民检察院不予追究被告人刑事责任的案件。

第一百七十一条 人民法院对于自诉案件进行审查后，按照下列情形分别处
理：
（一）犯罪事实清楚，有足够证据的案件，应当开庭审判；
（二）缺乏罪证的自诉案件，如果自诉人提不出补充证据，应当说服自诉
人撤回自诉，或者裁定驳回。

自诉人经两次依法传唤，无正当理由拒不到庭的，或者未经法庭许可中途
退庭的，按撤诉处理。
法庭审理过程中，审判人员对证据有疑问，需要调查核实的，适用本法第
一百五十八条的规定。
第一百七十二条 人民法院对自诉案件，可以进行调解；自诉人在宣告判决
前，可以同被告人自行和解或者撤回自诉。本法第一百七十条第三项规定的案
件不适用调解。

第一百七十三条 自诉案件的被告人在诉讼过程中，可以对自诉人提起反诉。

反诉适用自诉的规定。
《刑事诉讼法》司法解释规定：第一条 人民法院直接受理的自诉案件包括：
　　(一)告诉才处理的案件：
　　1、侮辱、诽谤案(刑法第二百四十六条规定的，但是严重危害社会秩序和国家利益的除外)；
　　2、暴力干涉婚姻自由案(刑法第二百五十七条第一款规定的)；
　　3、虐待案(刑法第二百六十条第一款规定的)；
　　4、侵占案(刑法第二百七十条规定的)。
　　(二)人民检察院没有提起公诉，被害人有证据证明的轻微刑事案件：
　　1、故意伤害案(刑法第二百三十四条第一款规定的)；
　　2、非法侵入住宅案(刑法第二百四十五条规定的)；
　　3、侵犯通信自由案(刑法第二百五十二条规定的)；
　　4、重婚案(刑法第二百五十八条规定的)；
　　5、遗弃案(刑法第二百六十一条规定的)；
　　6、生产、销售伪劣商品案(刑法分则第三章第一节规定的，但是严重危害社会秩序和国家利益的除外)；
　　7、侵犯知识产权案(刑法分则第三章第七节规定的，但是严重危害社会秩序和国家利益的除外)；
　　8、属于刑法分则第四章、第五章规定的，对被告人可能判处三年有期徒刑以下刑罚的案件。
　　对上列八项案件，被害人直接向人民法院起诉的，人民法院应当依法受理。对于其中证据不足、可由公安机关受理的，或者认为对被告人可能判处三年有期徒刑以上刑罚的，应当移送公安机关立案侦查。
　　(三)被害人有证据证明对被告人侵犯自己人身、财产权利的行为应当依法追究刑事责任，而公安机关或者人民检察院已经作出不予追究的书面决定的案件。
上述内容请你一定仔细研究，一定会对你的案件有所帮助的。最后，由于你父亲的伤势被法医鉴定为重伤，如果排除了意外事件的可能性而的确是对方实施了故意伤害的犯罪行为，其实是不能提起自诉的，只能由检察院提起公诉。你和家人应当继续要求公安机关立案或者出具不予立案的书面决定；同时也可以通过检察院督促公安机关立案；也可以向法院提起自诉，再由法院移送公安机关立案。以上仅供参考。