发生交通事故当时未报警

首先要确认半个月之后的伤与那次事故与没有因果关系。如果能确定是那次事故造成的，需要赔偿。当然，您的录音会加重对方的举证责任。

只是说退给我租金，是不是起诉前会给对方发律师函？是否需要我的委托授权书？授权书传真件可以吗？

发律师函不是诉讼的必经程序，当然发律师函是一种很好的通过非诉解决问题的方式。您可以委托律师全程办理先协商、发函，直至诉讼。可以要求继续履行。

刚来的时候签署合同为三年其中试用期三个月，是否可以追讨试用期和转正后的工资差额，我可不可以告他们？

试用期满后只要您还在单位上班，单位就必须按转正后的工资标准向您支付工资。

甲第一时间送乙去了医院，垫付了医药费，甲的责任怎么承担？医药费误工费也需要甲全部承担吗？

按照您说的情况，甲应该承担赔偿责任。