公司裁员，但不愿赔偿。如果在公司的解除劳动关系通知书上签字的话，就没有资格申请仲裁要求赔偿吗

1、是劳动关系还是劳务关系？我和小王并没有签订劳动合同，小王和我父亲的公司是什么样的劳动关系？是否存在劳动关系呢？还是我私人名义和小王之间的劳务关系？ 应该属于劳动关系，虽然是以你个人名义聘请的，但是主要还是给公司工作，你父亲是公司的法定代表人，你又负责公司的管理工作。
2、既然我父亲的公司并没有和小王签署国劳动合同，税单和工资单也可以证明这一点，我是否可以向劳动仲裁部门说明小王搞错了对象？这件事只是我和她两个自然人之间的纠纷呢？ 你可以以此作为你公司的抗辩理由，但是估计仲裁委员会很难采纳的。
3、我应该支付小王多少工资？是否需要帮她补交四金？ 工资当然要按照约定支付，如果没有约定，可以比照以前发放的标准，如果确认你们属于劳动关系，肯定就应该给补社会保险的。
4、由于小王的突然离职，没有交接工作，给我造成了损失，我不得临时高薪聘用其他员工接替她的工作，请问我是否可以要求她给予道歉和赔偿呢？ 可以要求她赔偿由此造成的损失，道歉没有法律依据。

用人单位解除合同的经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
这里所称的月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资，按应发工资计算。

单位违法辞退员工的补偿标准是依照《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。