我在公司工作了4年，公司没有签订合同，也没有养老保险。我能要求他们赔偿吗？

一般来说，劳动者与用人单位签订书面劳动合同是法律强制性规定必须签的；双方签订劳动合同后，可以把约定的待遇等写入，避免以后发生争议。并且劳动合同可以证明双方存在劳动关系，劳动者发生工伤等时，可以作为证据。
如果用人单位不给劳动者一份劳动合同，属于违法行为，劳动者可以去劳动监察投诉，要求给劳动者一份。

根据"谁主张谁举证"的原则，劳动者向劳动相应证据。只有证明双方存在劳动关系并且造成劳动者受伤的事故确属工伤事故的情况下，用人单位才会承担相应的赔偿责任。但由于双方没有签定劳动合同，且用人单位又极力否认存在着事实上的劳动关系，相应的举证便较难实现。
比较可行的办法是求助于当地的劳动监察部门，请求他们调查此事，取得当事人之间存在劳动关系的证据；同时进行工伤鉴定，取得该事故确属工伤事故的证据，以便劳动争议仲裁委员会立案。
在证实确属工伤事故的前提下，用人单位应负责支付伤、残劳动者的医疗费，以及残疾赔偿金，残疾赔偿金的数额根据丧失劳动能力的程度确定。造成全部丧失劳动能力的，对其抚养的无劳动能力的人，还应当支付生活费。
造成死亡的，应当支付死亡赔偿、丧葬费，对死者生前抚养的无劳动能力的人，还应当支付生活费。

若用人单位或者劳动者不签订劳动合同，则可按照下列法条处理：
《劳动合同法》第五条：自用工之日起一个月内，经用人单位书面通知后，劳动者不与用人单位订立书面劳动合同的，用人单位应当书面通知劳动者终止劳动关系，无需向劳动者支付经济补偿，但是应当依法向劳动者支付其实际工作时间的劳动报酬。
第六条：用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当依照劳动合同法第八十二条的规定向劳动者每月支付两倍的工资，并与劳动者补订书面劳动合同；劳动者不与用人单位订立书面劳动合同的，用人单位应当书面通知劳动者终止劳动关系，并依照劳动合同法第四十七条的规定支付经济补偿。
前款规定的用人单位向劳动者每月支付两倍工资的起算时间为用工之日起满一个月的次日，截止时间为补订书面劳动合同的前一日。
第七条：用人单位自用工之日起满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日应当依照劳动合同法第八十二条的规定向劳动者每月支付两倍的工资，并视为自用工之日起满一年的当日已经与劳动者订立无固定期限劳动合同，应当立即与劳动者补订书面劳动合同。