在别人的车交通事故中，胳膊肱骨粉碎骨折，车只有交通保险，对方事故的所有者是老人，车没有驾照没有保险，交通事故的责任定义了我们司机的责任。第一期手术费由我方司机支付，第二期手术需要一年后。我应该怎样主张自己的权利？

根据法律规定，机动车发生交通事故造成人员伤亡或者财产损失，且负事故主要责任的，除保险公司按照保险范围内赔偿外，不足部分，由驾驶员或者车辆使用人承担法律责任；机动车所有人对损害的发生有过错的，承担相应的赔偿责任。

法律依据：
一、《道路交通安全法》第七十六条　机动车发生交通事故造成人身伤亡、财产损失的，由保险公司在机动车第三者责任强制保险责任限额范围内予以赔偿;不足的部分，按照下列规定承担赔偿责任：

(一)机动车之间发生交通事故的，由有过错的一方承担赔偿责任;双方都有过错的，按照各自过错的比例分担责任。

(二)机动车与非机动车驾驶人、行人之间发生交通事故，非机动车驾驶人、行人没有过错的，由机动车一方承担赔偿责任;有证据证明非机动车驾驶人、行人有过错的，根据过错程度适当减轻机动车一方的赔偿责任;机动车一方没有过错的，承担不超过百分之十的赔偿责任。

交通事故的损失是由非机动车驾驶人、行人故意碰撞机动车造成的，机动车一方不承担赔偿责任。

二、 《侵权责任法》 第四十九条 因租赁、借用等情形机动车所有人与使用人不是同一人时，发生交通事故后属于该机动车一方责任的，由保险公司在机动车强制保险责任限额范围内予以赔偿。
不足部分，由机动车使用人承担赔偿责任；机动车所有人对损害的发生有过错的，承担相应的赔偿责任。
车主指的是相对拥有车辆所有权的人，即车主和驾驶员不是同一个人时，按照上诉规定确认车主的责任。