员工在职半年因严重违反公司制度，但双方一直未签订劳动合同可以开除吗？

非常规开除
《中国劳动合同法》第四十六条规定，有下列情形之一的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿：
（一）劳动者依照本法第三十八条规定解除劳动合同的（用人单位有违法、违约行为的，劳动者可以随时或者立即解除劳动合同，并有权取得经济补偿）；
（二）用人单位依照本法第三十六条规定向劳动者提出解除劳动合同并与劳动者协商一致解除劳动合同的（双方协商一致解除劳动合同，但是由用人单位提出解除动议）；
（三）用人单位依照本法第四十条规定解除劳动合同的（劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作也不能从事由用人单位另行安排的工作）；
（四）用人单位依照本法第四十一条第一款规定解除劳动合同的（经济性裁员中，劳动者没有任何过错，用人单位也是迫于无奈，为了企业的发展和大部分劳动者的权益，解除一部分劳动者的劳动合同）；
（五）除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，依照本法第四十四条第一项规定终止固定期限劳动合同的（用人单位同意续订劳动合同，但降低劳动合同约定条件，劳动者不同意续订的，劳动合同终止，用人单位应当支付经济补偿；用人单位不同意续订，无论劳动者是否同意续订，劳动合同终止，用人单位应当支付经济补偿）；
（六）依照本法第四十四条第四项、第五项规定终止劳动合同的（用人单位被依法宣告破产，劳动合同终止）；
（七）法律、行政法规规定的其他情形。

公司超过1个月不签订劳动合同的，应当支付双倍工资，超过1年不签订劳动合同的，视为已经签订了无固定期限劳动合同。公司没有依法参加社保造成损失的，可以要求赔偿。如果单位合法解除劳动关系的，应当支付3个半月工资的经济补偿金，如果是违法解除劳动关系的，应当双倍赔偿。

单位没签订合同，没缴纳社会保险，离职可以获得补偿：没签劳动合同，要付双倍的工资，《劳动合同法》第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月但不满一年位于劳动者订立劳动的同的，应当向劳动者每月支付二倍工资。
第四十七条：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
单位必须给在职员工办理社保，社保是法定的，《社会保险法》第八十四条规定：
1、用人单位不办理社会保险登记的，由社会保险行政部门责令限期改正；
2、逾期不改正的，对用人单位处应缴社会保险费数额一倍以上三倍以下的罚款；
4、对其直接负责的主管人员和其他直接责任人员处五百元以上三千元以下的罚款。