我在这个单位工作已经三年多了，但在第一年签了合同，然后我没有签合同，四个月前，公司降低了我的工资和职位，现在我想辞职可以申请赔偿吗？

公司没有与你签合同，那么按照劳动合同法规定，可以立即终止劳动关系，而且可以反映到劳动局、劳动争议仲裁委员会处理，申请双倍工资赔偿。
　　法律依据：《劳动合同法》
　　第三十八条　用人单位有下列情形之一的，劳动者可以解除劳动合同：
　　
(一)未按照劳动合同约定提供劳动保护或者劳动条件的；
　　
(二)未及时足额支付劳动报酬的；
　　
(三)未依法为劳动者缴纳社会保险费的；
　　
(四)用人单位的规章制度违反法律、法规的规定，损害劳动者权益的；
　　
(五)因本法第二十六条第一款规定的情形致使劳动合同无效的；
　　
(六)法律、行政法规规定劳动者可以解除劳动合同的其他情形。

存在劳动关系的；可以工资收条、签到名单等来证明。
2.《劳动合同法》第八十二条 用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
3.公司为员工缴纳社保是法律规定的强制义务，是由单位和个人按比例共同承担，单位占大头，个人占小头。新劳动法第三十八条规定：“用人单位未依法为劳动者缴纳社会保险费的，劳动者可以解除劳动合同。”新劳动法新增了处罚条款，用人单位未依法为劳动者缴纳社会保险费的，还应支付经济补偿金。经济补偿金的数额，新劳动法第四十七条作了详细规定，“经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；6个月以上不满一年的，按一年计算；不满6个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。”

如果没有签订劳动合同，出现工伤的，受伤职工仍可以按《工伤保险条例》的规定要求工伤待遇。　在处理工伤时，应该在规定时间内向劳动保障部门申请工伤认定，认定工伤并治疗终结后再申请伤残鉴定，之后再根据鉴定的伤残等级等情况确定具体的工伤赔偿金额。
　　对于赔偿金额，如果与用人单位协商不成的，可以申请劳动仲裁。
没签订劳动合同和工伤赔偿无丝毫关系，也没楼上说的那么复杂那么麻烦，其实现实处理起来很简单，如果你在公司工作期间受工伤了，公司有为你购买工伤保险，那么公司会帮你去进行工伤鉴定，包括费用结算什么的，你一概不管，公司自会到社保局处理，工伤期间，个人基本工资照发；如果公司没有为你购买工伤保险，那么发生的一切费用全由公司承担，如果公司不承担或不处理，你即可以到劳动局申请仲裁。
如果因工伤致残的话，就到市劳动和社会保障部申请伤残鉴定，赔偿原则一样，如果公司有买工伤保险，那么社会保险基金承担费用，公司承担一次性伤残补助金，如果没买，公司全部承担。