我从6月23号进入一家私企，当时口头约定实习期是三个月，现在实习期马上就结束了，公司要求要么辞职走人，要么延长实习期。这个合法吗？没有签劳动合同，也没有入保险。

没有签订劳动合同辞职：
可以要求用人单位支付经济补偿和未签订劳动合同的双倍工资：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年向劳动者支付一个月工资(满六个月不到一年的按一个月计算，未满六个月的按照半个月计算)。未签订劳动合同的双倍工资从劳动者入职的第二个月开始，按照月工资标准的两倍计算(计算时间最长不超过12个月)，支付时需减去期间公司已支付的工资。
另外，还可以通过法律程序主张公司为自己补缴劳动关系存续期间的社会保险费。

实习生本身是实习合同，不是劳动合同，当然，实习合同涉及的一些问题，可以参照劳动合同法的规定。
例如，实习生办理离职可以参考劳动合同员工程序。　　辞职和离职的流程是：　　
1、员工原则上应提前三十天、试用期提前三天将书面《辞职报告》交到人事行政部,并领取离职手续表。人事行政部对离职员工进行离职面谈,了解其离职原因并做记录。　　
2、按照离职手续表办理相关手续:　　
(1)、离职员工将离职手续表交部门负责人签字。部门主管以上岗位需经总经理签字。　　
(2)、由离职员工所在部门的助理向离职员工收回工作证,员工手册,工作服,办公用品,确认上交无误后由助理签字确认.　　
(3)、由财务部检查离职员工与公司在财务上是否有拖欠(包括所借款项,出差报销)，如有拖欠当场清还，无拖欠则由财务部在离职手续表上签字确认。　　
(4)、离职员工在得到离职手续表上所有需要的签名后,人事行政部向员工出具解除或者终止劳动合同的证明。　　
(5)、人事行政部安排人员到失业保险经办机构办理终止、解除劳动关系备案手续;凭备案审核意见，到社会保险经办机构中止职工社会保险关系;同时封存离职员工的公积金。如离职员工需要转移公积金则由人事行政部根据其所提供的新账户进行转移,如需取出则由员工自行办理。　　
(6)、人事行政部在职工解除劳动关系之日起十五日内，到失业保险经办机构办理失业保险待遇审核手续。　　
(7)、人事行政部将离职员工的档案重新归档，同时结清工资。

《劳动合同法》第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付两倍的工资。 　　《劳动合同法》第四十七条规定，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算;不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。 　　劳动者解除劳动合同，可获得经济补偿的情形只限于以下情形，不包括个人原因辞职的情形： 　　
1、用人单位未按照劳动合同约定提供劳动保护或者劳动条件，劳动者解除劳动合同的； 　　
2、用人单位未及时足额支付劳动报酬，劳动者解除劳动合同的； 　　
3、用人单位低于当地最低工资标准支付劳动者工资，劳动者解除劳动合同的； 　　
4、用人单位未依法为劳动者缴纳社会保险费，劳动者解除劳动合同的； 　　
5、用人单位的规章制度违反法律、法规的规定，损害劳动者权益，劳动者解除劳动合同的； 　　
6、用人单位以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使劳动者在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，致使劳动合同无效，劳动者解除劳动合同的； 　　
7、用人单位免除自己的法定责任、排除劳动者权利，致使劳动合同无效，劳动者解除劳动合同的； 　　
8、用人单位订立劳动合同违反法律、行政法规强制性规定，致使劳动合同无效，劳动者解除劳动合同的； 　　
9、用人单位以暴力、威胁或者非法限制人身自由的手段强迫劳动，劳动者解除劳动合同的； 　　
10、用人单位违章指挥、强令冒险作业危及劳动者人身安全，劳动者解除劳动合同的； 　　
11、法律、行政法规规定的其他情形。